エキスパンションパスのダウンロードカードを購入し、すでに「鎧の孤島」を遊んでいます。 「冠の雪原」を遊ぶためには、ダウンロードカードの裏面に書かれているダウンロード番号は再度入力する必要はありますか。

いいえ。
『ポケットモンスター ソード・シールド エキスパンションパス』には「冠の雪原」、「冠の雪原」の両方が入っており、すでに『ポケットモンスター ソード・シールド エキスパンションパス』のお引き換えが済んでいる状況となるため、再度ダウンロード番号をご入力いただく必要はございません。

なお、「冠の雪原」をお楽しみいただくには、ソフトの更新が必要となるため、Nintendo Switchシリーズ本体をインターネットに接続できる状態で、ソフトの更新を行っていただく必要がございます。